Formula de Cauchy (raíz enésima)

Sea una serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ , tal que $a k$ $> 0$ (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

$\lim_{k \rightarrow \infty} \sqrt [k] {a_k}=L$ , siendo $L \, \in \, [0, +\infty)$

Entonces, si:

$L < 1$ , la serie es convergente.
$L > 1$ entonces la serie es divergente.
$L$ =1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

Criterio de Raabe

En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raíz nos permitan determinar la convergencia o divergencia de la serie, entonces recurrimos al criterio de Raabe.

k puede valer 0.

Sea una serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ , tal que $a k$ $> 0$ (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

$\lim_{k \rightarrow \infty} k \left ( 1 - \frac {a_{k+1}}{a_k} \right )=L$ , siendo $L \, \in \, (-\infty , +\infty )$

Por tanto, si $L > 1$ , entonces la serie es convergente y si $L < 1$ , la serie es divergente